次の3つの関数を積分せよ。 (1) $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2x^2-4}}$ (3) $\frac{1}{\sqrt{x^2+7}}$

1. 問題の内容

次の3つの関数を積分せよ。

(1) $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2x^2-4}}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{x^2+7}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ の積分

これは $\arcsin$ の形に帰着できる。

$x = 2\sin{\theta}$ と置換すると、$dx = 2\cos{\theta} d\theta$ となる。

$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2{\theta}}} 2\cos{\theta} d\theta = \int \frac{2\cos{\theta}}{2\sqrt{1-\sin^2{\theta}}} d\theta = \int \frac{\cos{\theta}}{\cos{\theta}} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

$\theta = \arcsin{\frac{x}{2}}$ であるから、$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \arcsin{\frac{x}{2}} + C$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2x^2-4}}$ の積分

まず、$2x^2-4 = 2(x^2-2)$ であるから、$\frac{1}{\sqrt{2x^2-4}} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x^2-2}}$ となる。

$\int \frac{1}{\sqrt{2x^2-4}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\sqrt{x^2-2}} dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2-a^2}| + C$ を用いると、$a^2=2$ なので、$a = \sqrt{2}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2-2}| + C$

したがって、$\int \frac{1}{\sqrt{2x^2-4}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \log |x + \sqrt{x^2-2}| + C$

(3) $\frac{1}{\sqrt{x^2+7}}$ の積分

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + C$ を用いると、$a^2=7$ なので、$a = \sqrt{7}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+7}} dx = \log |x + \sqrt{x^2+7}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\arcsin{\frac{x}{2}} + C$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}} \log |x + \sqrt{x^2-2}| + C$

(3) $\log |x + \sqrt{x^2+7}| + C$