関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフが与えられている。$a > 0$, $0 < b < 2\pi$ の条件のもとで、$a$, $b$ の値と、グラフ中の目盛り $A, B, C, D$ の値を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフが与えられている。$a > 0$, $0 < b < 2\pi$ の条件のもとで、$a$, $b$ の値と、グラフ中の目盛り $A, B, C, D$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、グラフから周期を読み取る。

$y = 2\cos(a\theta - b) = 2\cos(a(\theta - \frac{b}{a}))$ より、この関数の振幅は2、周期は $\frac{2\pi}{a}$、位相のずれは $\frac{b}{a}$ となる。

グラフから、周期は $\frac{5}{6}\pi - \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$ の2倍なので $\frac{3\pi}{2}$である。

したがって、

$\frac{2\pi}{a} = \frac{3\pi}{2}$

$a = \frac{4}{3}$

次に、$\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき、グラフは最大値2をとるので、

$2\cos(a\frac{\pi}{12} - b) = 2$

$\cos(a\frac{\pi}{12} - b) = 1$

$a\frac{\pi}{12} - b = 2n\pi$ （$n$は整数）

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{12} - b = 2n\pi$

$\frac{\pi}{9} - b = 2n\pi$

$b = \frac{\pi}{9} - 2n\pi$

$0 < b < 2\pi$ より、$n = 0$ のとき $b = \frac{\pi}{9}$ となる。

次に、目盛りを求める。

A：グラフは$\theta = \frac{5\pi}{6}$ で最大値をとるので、$A = \frac{5\pi}{6}$。

B：グラフの最大値なので、$B = 2$。

C：グラフの最小値なので、$C = -2$。

D：グラフのy切片なので、$\theta = 0$ のとき $y = 2\cos(-b) = 2\cos(-\frac{\pi}{9}) = 2\cos(\frac{\pi}{9})$ となる。

3. 最終的な答え

$a = \frac{4}{3}$

$b = \frac{\pi}{9}$

$A = \frac{5\pi}{6}$

$B = 2$

$C = -2$

$D = 2\cos(\frac{\pi}{9})$

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた三角関数のうち、グラフが右の図のようになるものをすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

与えられたグラフの特徴を捉える。グラフは $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき $y=0$ であり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $y=1$ である。また、周期は $2\pi$ であり、グラフの振幅は1である。

このグラフは正弦関数をy軸方向に1/2倍して、$\theta$ 軸方向に-$\frac{\pi}{6}$だけ平行移動したものと考えられる。

したがって、$y = \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ のグラフである。

それぞれの選択肢について検討する。

1. $y = \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})$ : $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ なので不適

2. $y = \cos(\theta + \frac{5\pi}{3})$ : $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = \cos(\frac{9\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ , $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y = \cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. よって適合

3. $y = \sin(-\theta + \frac{4\pi}{3})$ : $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6}) = \sin(\frac{9\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ なので不適

4. $y = -\cos(\theta + \frac{2\pi}{3})$ : $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = -\cos(\frac{3\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ , $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y = -\cos(\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}) = -\cos(\frac{4\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.よって適合

5. $y = -\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ : $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = -\sin(-\frac{2\pi}{6}) = -\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので不適

6. $y = \cos(\theta - \frac{5\pi}{3})$ : $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = \cos(-\frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{6} - \frac{10\pi}{6}) = \cos(-\frac{11\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので不適

7. $y = -\sin(-\theta - \frac{\pi}{6})$ : $y = \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$. $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = \sin(0) = 0$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. よって適合

8. $y = -\cos(-\theta + \frac{4\pi}{3})$ : $y = -\cos(\theta - \frac{4\pi}{3})$. $\theta = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$y = -\cos(-\frac{\pi}{6} - \frac{8\pi}{6}) = -\cos(-\frac{9\pi}{6}) = -\cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$ , $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$y = -\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{4\pi}{3})=-\cos(-\pi)=\cos(0) = -(-1)=1$. よって適合

3. 最終的な答え

2, 4, 7, 8