$\cos(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす$\theta$の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$\cos(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす$\theta$の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$t = \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}$ と置きます。

すると、与えられた不等式は $\cos(t) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$\cos(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ の値は $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ （$n$は整数）です。

$\cos(t)$ は周期 $2\pi$ の周期関数なので、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、$\cos(t) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ の範囲は、

$\frac{\pi}{4} \leq t \leq 2\pi - \frac{\pi}{4}$ つまり $\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{7\pi}{4}$

となります。

より一般的に書くと、

$\frac{\pi}{4} + 2n\pi \leq t \leq \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ ($n$は整数)

となります。

$t = \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$\frac{\pi}{4} + 2n\pi \leq \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3} \leq \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$

すべての項に $\frac{\pi}{3}$ を加えると、

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

$\frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{21\pi + 4\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$

したがって、

$\frac{7\pi}{12} + 2n\pi \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{25\pi}{12} + 2n\pi$

すべての項に2を掛けると、

$\frac{7\pi}{6} + 4n\pi \leq \theta \leq \frac{25\pi}{6} + 4n\pi$

$n = 0$ の場合、$\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{25\pi}{6}$

$2\pi = \frac{12\pi}{6}$ なので、$\frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$ である。

したがって、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲では、

$\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq 2\pi$ および $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ が条件を満たす。

まとめると

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq 2\pi$ となる。

3. 最終的な答え

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{6} \leq \theta < 2\pi$