$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right| \leq M_1$ かつ $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right| \leq M_2$ が成り立つとする。このとき、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、 $$ |f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2} $$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right| \leq M_1$ かつ $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right| \leq M_2$ が成り立つとする。このとき、任意の $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、

$$$$

|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

$$$$

が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を次のように変形する。

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = f(x+h, y+k) - f(x, y+k) + f(x, y+k) - f(x, y)$

次に、平均値の定理を用いる。

$f(x+h, y+k) - f(x, y+k)$ に対して、$x$ に関する平均値の定理を用いると、ある $\theta_1 \in (0, 1)$ が存在して、

$f(x+h, y+k) - f(x, y+k) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h$

同様に、$f(x, y+k) - f(x, y)$ に対して、$y$ に関する平均値の定理を用いると、ある $\theta_2 \in (0, 1)$ が存在して、

$f(x, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k$

したがって、

$f(x+h, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k$

絶対値をとると、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| = \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k \right|$

三角不等式より、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h \right| + \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k \right|$

$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right| \leq M_1$ と $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right| \leq M_2$ を用いると、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq M_1 |h| + M_2 |k|$

Cauchy-Schwarzの不等式より、

$M_1 |h| + M_2 |k| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

よって、

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

3. 最終的な答え

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$