関数 $f(x) = x^2 + 2$ （$x \geq 0$）と $g(x) = \sqrt{x-2}$ （$x \geq 2$）が与えられています。合成関数 $(f \circ f)(x)$と$(f \circ g)(x)$をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2$ （$x \geq 0$）と $g(x) = \sqrt{x-2}$ （$x \geq 2$）が与えられています。合成関数 $(f \circ f)(x)$と$(f \circ g)(x)$をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(f \circ f)(x)$を求めます。これは$f(f(x))$を計算することを意味します。

$f(x) = x^2 + 2$なので、

$$f(f(x)) = f(x^2 + 2) = (x^2 + 2)^2 + 2$$

次に、$(x^2 + 2)^2 + 2$を展開します。

$$(x^2 + 2)^2 + 2 = (x^4 + 4x^2 + 4) + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$$

よって、$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$となります。定義域は$x\geq0$です。

次に、$(f \circ g)(x)$を求めます。これは$f(g(x))$を計算することを意味します。

$g(x) = \sqrt{x-2}$なので、

$$f(g(x)) = f(\sqrt{x-2}) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$$

$(\sqrt{x-2})^2 = x-2$なので、

$$(\sqrt{x-2})^2 + 2 = (x - 2) + 2 = x$$

よって、$(f \circ g)(x) = x$となります。定義域は$x\geq2$です。

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$ ($x \geq 0$)

$(f \circ g)(x) = x$ ($x \geq 2$)