次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{2x-3}$ (2) $y = \frac{x}{x^2-2}$ (3) $y = \frac{2x-1}{x^2+1}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{2x-3}$

(2) $y = \frac{x}{x^2-2}$

(3) $y = \frac{2x-1}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{2x-3}$ の微分

これは合成関数の微分です。$u = 2x-3$ とおくと $y = \frac{1}{u} = u^{-1}$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(2x-3)^2} \cdot 2 = -\frac{2}{(2x-3)^2}$

(2) $y = \frac{x}{x^2-2}$ の微分

これは商の微分です。$u = x$, $v = x^2 - 2$ とおくと、$y = \frac{u}{v}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u' = 1$

$v' = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x^2-2) - x \cdot (2x)}{(x^2-2)^2} = \frac{x^2 - 2 - 2x^2}{(x^2-2)^2} = \frac{-x^2 - 2}{(x^2-2)^2}$

(3) $y = \frac{2x-1}{x^2+1}$ の微分

これも商の微分です。$u = 2x-1$, $v = x^2+1$ とおくと、$y = \frac{u}{v}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u' = 2$

$v' = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x^2+1) - (2x-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - (4x^2 - 2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{(2x-3)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2 - 2}{(x^2-2)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$