関数 $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を指数を用いて書き換えます。

$f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$

次に、それぞれの項を微分します。

$x^n$の微分は、$nx^{n-1}$であることを利用します。

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx}(x^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

よって、$f(x)$の導関数$f'(x)$は、

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - (-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{x+1}{2x^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$ あるいは $\frac{x+1}{2x^{\frac{3}{2}}}$