関数 $f(x) = e^x$ の導関数を、導関数の定義に従って求め、$f'(x) = e^x$ を証明する問題です。空欄のア、イ、ウ、エを埋める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x$ の導関数を、導関数の定義に従って求め、$f'(x) = e^x$ を証明する問題です。空欄のア、イ、ウ、エを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義より、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

$f(x) = e^x$ なので、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$$

したがって、アには $e^{x+h}$ が入ります。

$e^{x+h} = e^x e^h$ なので、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h}$$

したがって、イには $e^x e^h$ が入ります。

$e^x$ でくくると、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h}$$

したがって、ウには $e^h - 1$ が入ります。

ここで、$x$ に無関係な $e^x$ は $\lim$ の外に出せるので、

$$f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$$

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であることが知られています。

したがって、エには 1 が入ります。

ゆえに、

$$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$$

が示されました。

3. 最終的な答え

ア: $e^{x+h}$

イ: $e^x e^h$

ウ: $e^h - 1$

エ: 1