関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義に従って求め、$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$ であることを証明する問題です。空欄を埋める形式になっています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数 $f'(x)$ を、導関数の定義に従って求め、$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$ であることを証明する問題です。空欄を埋める形式になっています。

2. 解き方の手順

(ア)

導関数の定義より、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h) = \frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)}$ であるから、

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{h}$

よって、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{h}$

したがって、空欄（ア）には $\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)}$ が入ります。

(イ)

$\frac{\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{h} = \frac{\cos(x+h)\sin x - \cos x \sin(x+h)}{h\sin(x+h)\sin x}$

分子は三角関数の加法定理より、

$\cos(x+h)\sin x - \cos x \sin(x+h) = \sin(x - (x+h)) = \sin(-h) = -\sin h$

したがって、

$\frac{\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)} - \frac{\cos x}{\sin x}}{h} = \frac{-\sin h}{h\sin(x+h)\sin x}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h\sin(x+h)\sin x}$

よって、空欄（イ）には $\frac{-\sin h}{ \sin(x+h) \sin x}$ が入ります。

(ウ)

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h\sin(x+h)\sin x} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\sin(x+h)\sin x}$

よって、空欄（ウ）には $-\sin h$ が入ります。

(エ)

$\lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h} = -1$

$\lim_{h \to 0} \sin(x+h) \sin x = \sin x \cdot \sin x = \sin^2 x$

したがって、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sin(x+h)\sin x} = -1 \cdot \frac{1}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$

よって、空欄（エ）には $-1$ が入ります。

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)}$

(イ) $\frac{-\sin h}{ \sin(x+h) \sin x}$

(ウ) $-\sin h$

(エ) $-1$