導関数の定義に従って関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分する。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次のとおりです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

与えられた関数 $f(x) = (2x-1)^3$ に対して、定義に従って微分を計算します。

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = (2(x+h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = (2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3$

ここで、$A = 2x+2h-1$、$B = 2x-1$ とおくと、$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ なので、

$(2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3 = ((2x + 2h - 1) - (2x - 1))((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

$= (2h)((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(2h)((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)}{h}$

$= 2((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

次に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\lim_{h \to 0} 2((2x + 2h - 1)^2 + (2x + 2h - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

$= 2((2x - 1)^2 + (2x - 1)(2x - 1) + (2x - 1)^2)$

$= 2(3(2x - 1)^2) = 6(2x - 1)^2$

したがって、$f'(x) = 6(2x-1)^2$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x-1)^2$