$0 \le \theta \le \pi$ のとき、関数 $y = 2\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta + \cos2\theta - \sqrt{3}\sin2\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、関数 $y = 2\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta + \cos2\theta - \sqrt{3}\sin2\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の式を変形します。

$y = 2\sin\theta - 2\sqrt{3}\cos\theta + \cos2\theta - \sqrt{3}\sin2\theta$

$y = 2(\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta) + (\cos2\theta - \sqrt{3}\sin2\theta)$

三角関数の合成を行います。

$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = 2(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2(\sin\theta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$\cos2\theta - \sqrt{3}\sin2\theta = 2(\frac{1}{2}\cos2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\theta) = 2(\cos2\theta\cos\frac{\pi}{3} - \sin2\theta\sin\frac{\pi}{3}) = 2\cos(2\theta + \frac{\pi}{3})$

したがって、

$y = 4\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + 2\cos(2\theta + \frac{\pi}{3})$

ここで、$t = \theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\theta = t + \frac{\pi}{3}$ であり、

$0 \le \theta \le \pi$ より $-\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3}$

また、

$2\theta + \frac{\pi}{3} = 2(t + \frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{3} = 2t + \pi$

よって、

$y = 4\sin t + 2\cos(2t + \pi) = 4\sin t - 2\cos2t$

$y = 4\sin t - 2(1 - 2\sin^2 t) = 4\sin t - 2 + 4\sin^2 t$

$y = 4\sin^2 t + 4\sin t - 2$

$x = \sin t$ とおくと、$-\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3}$ より $-\frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le 1$

$y = 4x^2 + 4x - 2 = 4(x^2 + x) - 2 = 4(x + \frac{1}{2})^2 - 1 - 2 = 4(x + \frac{1}{2})^2 - 3$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $y = -3$

$x = 1$ のとき、最大値 $y = 4(1 + \frac{1}{2})^2 - 3 = 4(\frac{9}{4}) - 3 = 9 - 3 = 6$

また、$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき $y = 4(\frac{3}{4}) - 4\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 = 3 - 2\sqrt{3} - 2 = 1 - 2\sqrt{3} > -3$ なので、考慮する必要はない。

したがって、

最大値は $x = 1$、つまり $\sin t = 1$ のとき $y = 6$

$\sin t = 1$ より $t = \frac{\pi}{2}$

$\theta = t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

最小値は $x = -\frac{1}{2}$、つまり $\sin t = -\frac{1}{2}$ のとき $y = -3$

$\sin t = -\frac{1}{2}$ より $t = -\frac{\pi}{6}$

$\theta = t + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

最大値：6 （$\theta = \frac{5\pi}{6}$）

最小値：-3 （$\theta = \frac{\pi}{6}$）