半径 $r$ の球の体積を $V$, 表面積を $S$ とするとき、$V = \frac{4}{3}\pi r^3$、$S = 4\pi r^2$ である。$V$ と $S$ を $r$ の関数とみて、それぞれ $r$ で微分せよ。

1. 問題の内容

半径 $r$ の球の体積を $V$, 表面積を $S$ とするとき、$V = \frac{4}{3}\pi r^3$、$S = 4\pi r^2$ である。$V$ と $S$ を $r$ の関数とみて、それぞれ $r$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$V$ を $r$ で微分する。

$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$

$\frac{4}{3}\pi$ は定数なので、

$\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \frac{d}{dr} (r^3)$

$r^3$ を $r$ で微分すると $3r^2$ になるので、

$\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi (3r^2) = 4\pi r^2$

次に、$S$ を $r$ で微分する。

$\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr} (4\pi r^2)$

$4\pi$ は定数なので、

$\frac{dS}{dr} = 4\pi \frac{d}{dr} (r^2)$

$r^2$ を $r$ で微分すると $2r$ になるので、

$\frac{dS}{dr} = 4\pi (2r) = 8\pi r$

3. 最終的な答え

$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$

$\frac{dS}{dr} = 8\pi r$