関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ の $x=2$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ の $x=2$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求めます。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この問題では、$a=2$ なので、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

まず、$f(2+h)$ と $f(2)$ を計算します。

$f(2+h) = \frac{1}{(2+h)+1} = \frac{1}{3+h}$

$f(2) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$

これらを微分係数の定義の式に代入します。

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{3+h} - \frac{1}{3}}{h}$

この極限を計算するために、分子を通分します。

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 - (3+h)}{3(3+h)}}{h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{3(3+h)}}{h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{3h(3+h)}$

$h$ で約分します。

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{3(3+h)}$

$h \to 0$ の極限を計算します。

$f'(2) = \frac{-1}{3(3+0)}$

$f'(2) = \frac{-1}{3(3)}$

$f'(2) = \frac{-1}{9}$

3. 最終的な答え

$f'(2) = -\frac{1}{9}$