関数 $f(x) = \log(1 + x + x^2)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の $x=0$ における3次近似式を求めます。 (2) 実数 $a$ に対して、$\lim_{x\to 0} \frac{f(x) - a\sin x}{x^\beta}$ が $0$ ではない有限な値となるときの $\beta$ とそのときの極限値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(1 + x + x^2)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の $x=0$ における3次近似式を求めます。

(2) 実数 $a$ に対して、$\lim_{x\to 0} \frac{f(x) - a\sin x}{x^\beta}$ が $0$ ではない有限な値となるときの $\beta$ とそのときの極限値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の $x=0$ における3次近似式を求めるには、テイラー展開を利用します。まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f(x) = \log(1 + x + x^2)$

$f'(x) = \frac{1 + 2x}{1 + x + x^2}$

$f''(x) = \frac{2(1 + x + x^2) - (1 + 2x)^2}{(1 + x + x^2)^2} = \frac{2 + 2x + 2x^2 - (1 + 4x + 4x^2)}{(1 + x + x^2)^2} = \frac{1 - 2x - 2x^2}{(1 + x + x^2)^2}$

$f'''(x) = \frac{(-2 - 4x)(1 + x + x^2)^2 - (1 - 2x - 2x^2)2(1 + x + x^2)(1 + 2x)}{(1 + x + x^2)^4} = \frac{(-2 - 4x)(1 + x + x^2) - 2(1 - 2x - 2x^2)(1 + 2x)}{(1 + x + x^2)^3} = \frac{-2 - 6x - 6x^2 - 4x^3 - 2(1 - 4x^2 - 4x^3)}{(1 + x + x^2)^3} = \frac{-4 - 6x + 2x^2 + 4x^3}{(1 + x + x^2)^3}$

次に、$x = 0$ での値を計算します。

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1} = 1$

$f''(0) = \frac{1}{1} = 1$

$f'''(0) = \frac{-4}{1} = -4$

テイラー展開の公式より、$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

したがって、$f(x) \approx 0 + 1\cdot x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{-4}{6}x^3 = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3$

(2) $\sin x$ のテイラー展開は、$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ です。

よって、$f(x) - a\sin x = (x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3) - a(x - \frac{x^3}{6}) + O(x^4) = (1-a)x + \frac{1}{2}x^2 + (-\frac{2}{3} + \frac{a}{6})x^3 + O(x^4)$

$\lim_{x\to 0} \frac{f(x) - a\sin x}{x^\beta}$ が $0$ でない有限な値を持つためには、まず $1-a = 0$ である必要があり、したがって $a = 1$ となります。

このとき、$f(x) - \sin x = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^3 + O(x^4)$

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^3}{x^\beta}$ が $0$ でない有限な値を持つためには、$\beta = 2$ であり、このとき極限値は $\frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ の $x=0$ における3次近似式は $x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3$ です。

(2) $\beta = 2$ のとき、$\lim_{x\to 0} \frac{f(x) - \sin x}{x^2} = \frac{1}{2}$ です。