$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、指数関数の極限の公式を利用します。具体的には、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ を利用します。

与えられた式をこの形に近づけるために、$a = -3$ と置きます。

すると、

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x$

これは、上記の公式の$a$に$-3$を代入した形になっています。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^x = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$