$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、式を因数分解します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x + \sin x}{x^2 + x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x (\sin x + 1)}{x(x+1)}$

次に、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用できるように、$\frac{\sin x}{x}$ の形を作ります。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x (\sin x + 1)}{x(x+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x + 1}{x+1}$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x\to 0} \sin x = 0$ であることに注意します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x + 1}{x+1} = \left( \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \lim_{x\to 0} \frac{\sin x + 1}{x+1} \right) = 1 \cdot \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

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