$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、$M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $$ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \le M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \le M_2 $$ が成り立つとする。このとき、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、不等式 $$ |f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2} $$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であり、$M_1 > 0$, $M_2 > 0$ が存在して、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して

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\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \le M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \le M_2

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が成り立つとする。このとき、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、不等式

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を次のように分解する。

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = (f(x+h, y+k) - f(x, y+k)) + (f(x, y+k) - f(x, y))

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平均値の定理を適用すると、ある $\theta_1 \in (0, 1)$ および $\theta_2 \in (0, 1)$ が存在して

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f(x+h, y+k) - f(x, y+k) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h

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f(x, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k

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したがって、

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k

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絶対値を取ると、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| = \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) k \right|

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三角不等式より、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) \right| |h| + \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) \right| |k|

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仮定より $\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \le M_1$ および $\left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \le M_2$ であるから、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le M_1 |h| + M_2 |k|

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コーシー・シュワルツの不等式より、

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M_1 |h| + M_2 |k| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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したがって、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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3. 最終的な答え

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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