$sin\theta - \sqrt{3}cos\theta$ を $sin(\theta + \alpha)$ の形に変形し、$-\pi \le \theta \le \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$sin\theta - \sqrt{3}cos\theta$ を $sin(\theta + \alpha)$ の形に変形し、$-\pi \le \theta \le \pi$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$sin\theta - \sqrt{3}cos\theta$ を $Rsin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

三角関数の合成公式を使うと、

$Rsin(\theta + \alpha) = R(sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alpha) = (Rcos\alpha)sin\theta + (Rsin\alpha)cos\theta$

係数を比較すると、

$Rcos\alpha = 1$

$Rsin\alpha = -\sqrt{3}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$R^2cos^2\alpha + R^2sin^2\alpha = 1^2 + (-\sqrt{3})^2$

$R^2(cos^2\alpha + sin^2\alpha) = 1 + 3$

$R^2 = 4$

$R > 0$ より、$R = 2$

次に、$\alpha$ を求めます。

$cos\alpha = \frac{1}{2}$

$sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

この条件を満たす $\alpha$ は、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$sin\theta - \sqrt{3}cos\theta = 2sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ と表せます。

次に、$-\pi \le \theta \le \pi$ における $2sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最大値と最小値を求めます。

$-\pi \le \theta \le \pi$ より、

$-\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$

$sin$ の最大値は 1, 最小値は -1 です。

したがって、$2sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最大値は $2 \times 1 = 2$ です。

$-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ の範囲において、$sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最小値は -1 です。

したがって、$2sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最小値は $2 \times (-1) = -2$ です。

3. 最終的な答え

$sin\theta - \sqrt{3}cos\theta = 2sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

最大値：2

最小値：-2