$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ は $C^2$ 級の関数であるとする。$(a,b) \in \mathbb{R}^2$ 、$h,k \in \mathbb{R}$ に対して、関数 $F(t) = f(a+ht, b+kt)$ が与えられている。このとき、$F''(t)$ を $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ などを用いて表せ。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ は $C^2$ 級の関数であるとする。$(a,b) \in \mathbb{R}^2$ 、$h,k \in \mathbb{R}$ に対して、関数 $F(t) = f(a+ht, b+kt)$ が与えられている。このとき、$F''(t)$ を $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ などを用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$F'(t)$ を求める。連鎖律（チェインルール）より、

$F'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(a+ht, b+kt) \cdot h + \frac{\partial f}{\partial y}(a+ht, b+kt) \cdot k$

ここで、$x = a+ht$, $y = b+kt$ とおくと、

$F'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \cdot h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \cdot k$

次に、$F''(t)$ を求める。再び連鎖律を用いると、

$F''(t) = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \cdot h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \cdot k \right)$

$F''(t) = h \cdot \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right) + k \cdot \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right)$

$\frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) \cdot \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) \cdot h + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) \cdot k$

$\frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y) \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) \cdot \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y) \cdot h + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) \cdot k$

したがって、

$F''(t) = h \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) \cdot h + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) \cdot k \right) + k \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y) \cdot h + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y) \cdot k \right)$

$F''(t) = h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y) + hk \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y) + kh \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y) + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)$

$f$ が $C^2$ 級なので、$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ が成り立つ。よって、

$F''(t) = h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a+ht, b+kt) + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+ht, b+kt) + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a+ht, b+kt)$

3. 最終的な答え

$F''(t) = h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a+ht, b+kt) + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+ht, b+kt) + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a+ht, b+kt)$