問題は以下の2つの部分から構成されています。 * **1**: 不定積分を計算する問題が4つあります。 1. $\int \cos^{-1} x \, dx$ 2. $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$ 3. $\int \frac{1}{(x-2)^2(x^2 + 1)} \, dx$ 4. $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$ * **2**: 関数を微分する問題が2つあります。2つ目の問題は陰関数であり、$dy/dx$ を $x$ と $y$ の式で表す必要があります。 1. $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$ 2. $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分から構成されています。

* **1**: 不定積分を計算する問題が4つあります。

1. $\int \cos^{-1} x \, dx$

2. $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

3. $\int \frac{1}{(x-2)^2(x^2 + 1)} \, dx$

4. $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$

* **2**: 関数を微分する問題が2つあります。2つ目の問題は陰関数であり、$dy/dx$ を $x$ と $y$ の式で表す必要があります。

1. $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$

2. $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

2. 解き方の手順

**

1. 不定積分の計算**

(1) $\int \cos^{-1} x \, dx$

部分積分を使用します。$u = \cos^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \int x \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \, dx$

$= x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$

ここで、$t = 1 - x^2$ とすると、$dt = -2x \, dx$ となり、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$

したがって、

$\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

分母を因数分解します。$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$. 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$

$1 = A(x + 2) + B(x - 5)$

$x = 5$ のとき $1 = 7A$, $A = \frac{1}{7}$.

$x = -2$ のとき $1 = -7B$, $B = -\frac{1}{7}$.

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \int \left(\frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x + 2}\right) \, dx$

$= \frac{1}{7} (\ln|x - 5| - \ln|x + 2|) + C$

$= \frac{1}{7} \ln\left|\frac{x - 5}{x + 2}\right| + C$

(3) $\int \frac{1}{(x - 2)^2(x^2 + 1)} \, dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x - 2)^2(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$

$1 = A(x - 2)(x^2 + 1) + B(x^2 + 1) + (Cx + D)(x - 2)^2$

$x = 2$ を代入すると $1 = 5B$, $B = \frac{1}{5}$.

$x = 0$ を代入すると $1 = -2A + B + 4D$, $1 = -2A + \frac{1}{5} + 4D$

$x = 1$ を代入すると $1 = -2A + 2B + C - D$, $1 = -2A + \frac{2}{5} + C - D$

$x = -1$ を代入すると $1 = 6A + 2B + (-C + D)9$, $1 = 6A + \frac{2}{5} + 9(-C + D)$

上記を解くと $A = -2/25, B = 1/5, C = 2/25, D = 3/25$.

$\int \frac{1}{(x - 2)^2(x^2 + 1)} \, dx = \int \left(-\frac{2}{25(x - 2)} + \frac{1}{5(x - 2)^2} + \frac{2x + 3}{25(x^2 + 1)}\right) \, dx$

$= -\frac{2}{25} \ln|x - 2| - \frac{1}{5(x - 2)} + \frac{1}{25} \ln(x^2 + 1) + \frac{3}{25} \arctan x + C$

(4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$

$\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \csc x \, dx - \int \cot x \, dx$

$\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$

$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$

$\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| - \ln|\sin x| + C$

$= -\ln|\frac{1 + \cos x}{\sin x}| - \ln|\sin x| + C$

$= -\ln|1 + \cos x| + C$

**

2. 微分の計算**

(1) $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$

$y' = \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x$

$= \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2} - \frac{x}{1 + x^2}$

$= \tan^{-1} x$

(2) $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

陰関数微分を行います。

$3x^2 + 3y + 3x \frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$x^2 + y + x \frac{dy}{dx} + y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(x + y^2) = -(x^2 + y)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + y}{x + y^2}$

3. 最終的な答え

**

1. 不定積分の計算**

(1) $\int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \ln\left|\frac{x - 5}{x + 2}\right| + C$

(3) $\int \frac{1}{(x - 2)^2(x^2 + 1)} \, dx = -\frac{2}{25} \ln|x - 2| - \frac{1}{5(x - 2)} + \frac{1}{25} \ln(x^2 + 1) + \frac{3}{25} \arctan x + C$

(4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx = -\ln|1 + \cos x| + C$

**

2. 微分の計算**

(1) $y' = \tan^{-1} x$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + y}{x + y^2}$