与えられた2階線形非同次微分方程式の一般解を求める問題です。微分方程式は以下の通りです。 $y'' - 2y' + 2y = e^x \cos 2x$

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式の一般解を求める問題です。微分方程式は以下の通りです。

$y'' - 2y' + 2y = e^x \cos 2x$

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式の解を求める

まず、与えられた非同次方程式に対応する同次方程式を考えます。

$y'' - 2y' + 2y = 0$

特性方程式は次のようになります。

$r^2 - 2r + 2 = 0$

この特性方程式の解は次のようになります。

$r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

したがって、同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h(x) = c_1 e^x \cos x + c_2 e^x \sin x$

(2) 非同次方程式の特殊解を求める

非同次項が $e^x \cos 2x$ であるため、特殊解を次の形で仮定します。

$y_p(x) = e^x(A \cos 2x + B \sin 2x)$

$y_p'(x) = e^x(A \cos 2x + B \sin 2x) + e^x(-2A \sin 2x + 2B \cos 2x) = e^x[(A+2B)\cos 2x + (B-2A)\sin 2x]$

$y_p''(x) = e^x[(A+2B)\cos 2x + (B-2A)\sin 2x] + e^x[-2(A+2B)\sin 2x + 2(B-2A)\cos 2x] = e^x[(-3A+4B)\cos 2x + (-4A-3B)\sin 2x]$

これらの結果を元の非同次方程式に代入します。

$e^x[(-3A+4B)\cos 2x + (-4A-3B)\sin 2x] - 2e^x[(A+2B)\cos 2x + (B-2A)\sin 2x] + 2e^x[A \cos 2x + B \sin 2x] = e^x \cos 2x$

$e^x$で割ると、

$(-3A+4B)\cos 2x + (-4A-3B)\sin 2x - 2(A+2B)\cos 2x - 2(B-2A)\sin 2x + 2A \cos 2x + 2B \sin 2x = \cos 2x$

$\cos 2x$と$\sin 2x$の係数を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$-3A+4B - 2A - 4B + 2A = 1$

$-4A - 3B - 2B + 4A + 2B = 0$

整理すると、

$-3A = 1$

$-3B = 0$

したがって、$A = -\frac{1}{3}, B = 0$ となります。

特殊解は次のようになります。

$y_p(x) = -\frac{1}{3} e^x \cos 2x$

(3) 一般解を求める

一般解は、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解の和です。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^x \cos x + c_2 e^x \sin x - \frac{1}{3} e^x \cos 2x$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1 e^x \cos x + c_2 e^x \sin x - \frac{1}{3} e^x \cos 2x$