画像に写っている数学の問題は全部で6問あります。今回は以下の3問を解きます。 (1) $2^{\frac{7}{6}} \times 4^{-\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{3}{9}}$ を計算する。 (2) $\log_2 \sin \frac{\pi}{4}$ を計算する。 (3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ を求める。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は全部で6問あります。今回は以下の3問を解きます。

(1) $2^{\frac{7}{6}} \times 4^{-\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{3}{9}}$ を計算する。

(2) $\log_2 \sin \frac{\pi}{4}$ を計算する。

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、底を2に統一します。

$4 = 2^2$ より $4^{-\frac{1}{3}} = (2^2)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$8 = 2^3$ より $8^{\frac{3}{9}} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1$

したがって、与式は

$2^{\frac{7}{6}} \times 2^{-\frac{2}{3}} \div 2^1 = 2^{\frac{7}{6} - \frac{2}{3} - 1}$

指数の部分を計算します。

$\frac{7}{6} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{7}{6} - \frac{4}{6} - \frac{6}{6} = \frac{7 - 4 - 6}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

よって、$2^{\frac{7}{6}} \times 4^{-\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{3}{9}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

(2)

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

したがって、$\log_2 \sin \frac{\pi}{4} = \log_2 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$

(3)

$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ より、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = 2 \times 1^2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $2^{-\frac{1}{2}}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $2$