関数 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であるとする。ある $M_1 > 0, M_2 > 0$ が存在し、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して $$ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2 $$ が成り立つとき、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して不等式 $$ |f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2} $$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数であるとする。ある $M_1 > 0, M_2 > 0$ が存在し、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ に対して

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\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1, \quad \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2

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が成り立つとき、すべての $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ および $h, k \in \mathbb{R}$ に対して不等式

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

$f(x+h, y+k) - f(x, y)$ を以下のように分解する。

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = f(x+h, y+k) - f(x, y+k) + f(x, y+k) - f(x, y)

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ここで、平均値の定理を用いる。

$f(x+h, y+k) - f(x, y+k)$ に対して、$x$ に関する平均値の定理を適用すると、ある $0 < \theta_1 < 1$ が存在して

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f(x+h, y+k) - f(x, y+k) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k)h

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同様に、$f(x, y+k) - f(x, y)$ に対して、$y$ に関する平均値の定理を適用すると、ある $0 < \theta_2 < 1$ が存在して

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f(x, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k)k

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したがって、

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f(x+h, y+k) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k)k

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両辺の絶対値を取ると、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| = \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k)k \right|

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三角不等式より、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x + \theta_1 h, y+k) \right| |h| + \left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y + \theta_2 k) \right| |k|

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仮定より、$\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \right| \leq M_1$ および $\left| \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \right| \leq M_2$ であるから、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq M_1 |h| + M_2 |k|

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ここで、Cauchy-Schwarz の不等式を用いる。すなわち、$a_i, b_i$ に対して

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\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)

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より、

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M_1 |h| + M_2 |k| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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したがって、

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|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}

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3. 最終的な答え

$|f(x+h, y+k) - f(x, y)| \leq \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$