$x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ に対して、 $|x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$ と定義する。$m \in \mathbb{N}$ に対して、 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ に対して、 $|x| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$ と定義する。$m \in \mathbb{N}$ に対して、 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x|^m$ を $x_k$ で偏微分することを考える。

$|x|^m = (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)^{m/2}$ である。

$\frac{\partial}{\partial x_k} |x|^m = \frac{m}{2} (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)^{\frac{m}{2} - 1} \cdot 2x_k = m x_k |x|^{m-2}$

次に、$\frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m$ を計算する。

$\frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m = \frac{\partial}{\partial x_k} (m x_k |x|^{m-2}) = m |x|^{m-2} + m x_k (m-2) |x|^{m-4} x_k = m |x|^{m-2} + m(m-2) x_k^2 |x|^{m-4}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m = \sum_{k=1}^{n} \left( m |x|^{m-2} + m(m-2) x_k^2 |x|^{m-4} \right) = m \sum_{k=1}^{n} |x|^{m-2} + m(m-2) \sum_{k=1}^{n} x_k^2 |x|^{m-4} = m n |x|^{m-2} + m(m-2) |x|^{m-4} \sum_{k=1}^{n} x_k^2 = m n |x|^{m-2} + m(m-2) |x|^{m-4} |x|^2 = m n |x|^{m-2} + m(m-2) |x|^{m-2} = m (n + m - 2) |x|^{m-2}$

3. 最終的な答え

$m(n+m-2)|x|^{m-2}$