(1) $2^{\frac{7}{6}} \times 4^{-\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{3}{2}}$ を計算する。 (2) $\log_2 \sin \frac{\pi}{4}$ を計算する。 (3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ を求める。 (4) 関数 $f(x) = \frac{3x - 4}{\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。 (5) 関数 $f(x) = xe^{x^2}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。 (6) 関数 $f(x) = \log |1 - 3x|$ に対して、2次のマクローリン近似多項式 $P_2(x)$ を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $2^{\frac{7}{6}} \times 4^{-\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{3}{2}}$ を計算する。

(2) $\log_2 \sin \frac{\pi}{4}$ を計算する。

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ を求める。

(4) 関数 $f(x) = \frac{3x - 4}{\sqrt{x}}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

(5) 関数 $f(x) = xe^{x^2}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

(6) 関数 $f(x) = \log |1 - 3x|$ に対して、2次のマクローリン近似多項式 $P_2(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、すべての数を2のべき乗の形で表します。

$4 = 2^2$ なので $4^{-\frac{1}{3}} = (2^2)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$8 = 2^3$ なので $8^{\frac{3}{2}} = (2^3)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$

したがって、

$2^{\frac{7}{6}} \times 4^{-\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{7}{6}} \times 2^{-\frac{2}{3}} \div 2^{\frac{9}{2}} = 2^{\frac{7}{6} - \frac{2}{3} - \frac{9}{2}}$

指数を計算します。

$\frac{7}{6} - \frac{2}{3} - \frac{9}{2} = \frac{7}{6} - \frac{4}{6} - \frac{27}{6} = \frac{7 - 4 - 27}{6} = \frac{-24}{6} = -4$

したがって、$2^{\frac{7}{6}} \times 4^{-\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{3}{2}} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$

(2)

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

したがって、

$\log_2 \sin \frac{\pi}{4} = \log_2 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$

(3)

$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ なので、

$1 - \cos 2x = 1 - (1 - 2 \sin^2 x) = 2 \sin^2 x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = 2 (1)^2 = 2$

(4)

$f(x) = \frac{3x - 4}{\sqrt{x}} = \frac{3x}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}} = 3x^{\frac{1}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} - 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 2 x^{-\frac{3}{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{x}} + \frac{2}{x \sqrt{x}} = \frac{3x + 4}{2x \sqrt{x}}$

(5)

$f(x) = xe^{x^2}$

積の微分法を用いる。

$f'(x) = (x)' e^{x^2} + x (e^{x^2})' = 1 \cdot e^{x^2} + x \cdot e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} + x e^{x^2} (2x) = e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} = (1 + 2x^2) e^{x^2}$

(6)

$f(x) = \log |1 - 3x|$

$f'(x) = \frac{-3}{1 - 3x}$

$f''(x) = \frac{-3(-1)(-3)}{(1-3x)^2} = \frac{-9}{(1-3x)^2}$

$f(0) = \log |1 - 0| = \log 1 = 0$

$f'(0) = \frac{-3}{1 - 0} = -3$

$f''(0) = \frac{-9}{(1-0)^2} = -9$

2次のマクローリン近似多項式は、

$P_2(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 = 0 + (-3)x + \frac{-9}{2} x^2 = -3x - \frac{9}{2} x^2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $2$

(4) $\frac{3x + 4}{2x \sqrt{x}}$

(5) $(1 + 2x^2) e^{x^2}$

(6) $-3x - \frac{9}{2} x^2$