問題は以下の通りです。 [1] 次の不定積分を計算せよ。 (1) $\int \cos^{-1}x \, dx$ (2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$ (3) $\int \frac{1}{(x-2)^2(x^2 + 1)} \, dx$ (4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$ [2] 次の関数を微分せよ。(2)については陰関数 $y = y(x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x, y$ の式で表せ。 (1) $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$ (2) $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

[1] 次の不定積分を計算せよ。

(1) $\int \cos^{-1}x \, dx$

(2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

(3) $\int \frac{1}{(x-2)^2(x^2 + 1)} \, dx$

(4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$

[2] 次の関数を微分せよ。(2)については陰関数 $y = y(x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x, y$ の式で表せ。

(1) $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$

(2) $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

2. 解き方の手順

[1] 不定積分の計算

(1) $\int \cos^{-1}x \, dx$

部分積分を用いる。$u = \cos^{-1}x$, $dv = dx$ とすると、$du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx$, $v = x$ となる。

$\int \cos^{-1}x \, dx = x\cos^{-1}x - \int x\left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)dx = x\cos^{-1}x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}dx$

ここで、$t = 1 - x^2$ とおくと、$dt = -2xdx$ より、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{t}}dt = -\frac{1}{2}(2\sqrt{t}) = -\sqrt{1 - x^2}$.

したがって、$\int \cos^{-1}x \, dx = x\cos^{-1}x - \sqrt{1 - x^2} + C$.

(2) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

被積分関数を部分分数分解する。$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$ より、$\frac{1}{x^2 - 3x - 10} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$ とおくと、$1 = A(x + 2) + B(x - 5)$.

$x = 5$ のとき、$1 = 7A \Rightarrow A = \frac{1}{7}$.

$x = -2$ のとき、$1 = -7B \Rightarrow B = -\frac{1}{7}$.

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7}\int \frac{1}{x - 5} \, dx - \frac{1}{7}\int \frac{1}{x + 2} \, dx = \frac{1}{7}\ln|x - 5| - \frac{1}{7}\ln|x + 2| + C = \frac{1}{7}\ln\left|\frac{x - 5}{x + 2}\right| + C$.

(3) $\int \frac{1}{(x-2)^2(x^2 + 1)} \, dx$

被積分関数を部分分数分解する。$\frac{1}{(x-2)^2(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$ とおく。

$1 = A(x - 2)(x^2 + 1) + B(x^2 + 1) + (Cx + D)(x - 2)^2$

$1 = A(x^3 - 2x^2 + x - 2) + B(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 4x + 4)$

$1 = (A + C)x^3 + (-2A + B - 4C + D)x^2 + (A - 4D + 4C)x + (-2A + B + 4D)$

$A + C = 0$

$-2A + B - 4C + D = 0$

$A - 4D + 4C = 0$

$-2A + B + 4D = 1$

$x = 2: 1 = 5B => B = 1/5$

$A + C = 0 => C = -A$

$-2A + 1/5 + 4A + D = 0 => 2A + D = -1/5$

$A - 4D - 4A = 0 => -3A - 4D = 0 => 3A + 4D = 0$

$8A + 4D = -4/5$

$5A = -4/5 => A = -4/25$

$C = 4/25$

$D = -1/5 - 2(-4/25) = -5/25 + 8/25 = 3/25$

$\int \frac{1}{(x-2)^2(x^2 + 1)} \, dx = -\frac{4}{25} \int \frac{1}{x-2} dx + \frac{1}{5} \int \frac{1}{(x-2)^2} dx + \frac{4}{25} \int \frac{x}{x^2+1} dx + \frac{3}{25} \int \frac{1}{x^2+1} dx$

$= -\frac{4}{25} \ln |x-2| - \frac{1}{5(x-2)} + \frac{2}{25} \ln |x^2+1| + \frac{3}{25} \arctan x + C$

(4) $\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx$

$\int \frac{1 - \cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{1}{\sin x}dx - \int \frac{\cos x}{\sin x}dx = \int \csc x \, dx - \int \cot x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| - \ln|\sin x| + C = -\ln\left|\frac{1 + \cos x}{\sin x}\right| - \ln|\sin x| + C = -\ln|1 + \cos x| + C$

もしくは、$\int \frac{1-\cos x}{\sin x}dx = \int \frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)}dx = \int \tan(x/2) dx = 2\ln|\sec(x/2)| + C = -2 \ln |\cos(x/2)|+C = -\ln\frac{1+\cos x}{2} + C$

[2] 微分

(1) $y = x \tan^{-1} x - \log \sqrt{1 + x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x + x\left(\frac{1}{1 + x^2}\right) - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\left(\frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}}\right)(2x) = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2} - \frac{x}{1 + x^2} = \tan^{-1} x$

(2) $x^3 + 3xy + y^3 = 0$

$3x^2 + 3y + 3x\frac{dy}{dx} + 3y^2\frac{dy}{dx} = 0$

$x^2 + y + x\frac{dy}{dx} + y^2\frac{dy}{dx} = 0$

$(x + y^2)\frac{dy}{dx} = -x^2 - y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + y}{x + y^2}$

3. 最終的な答え

[1]

(1) $x\cos^{-1}x - \sqrt{1 - x^2} + C$

(2) $\frac{1}{7}\ln\left|\frac{x - 5}{x + 2}\right| + C$

(3) $-\frac{4}{25} \ln |x-2| - \frac{1}{5(x-2)} + \frac{2}{25} \ln (x^2+1) + \frac{3}{25} \arctan x + C$

(4) $-\ln|1 + \cos x| + C$ または $2\ln|\sec(x/2)| + C$

[2]

(1) $\frac{dy}{dx} = \tan^{-1} x$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + y}{x + y^2}$