$t > 0$, $x = (x_1, ..., x_m) \in \mathbb{R}^m$ とする。関数 $u(t, x) = (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}$ に対して、$\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$t > 0$, $x = (x_1, ..., x_m) \in \mathbb{R}^m$ とする。関数

$u(t, x) = (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}$

に対して、$\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x|^2 = \sum_{k=1}^m x_k^2$ であることに注意する。

$\frac{\partial u}{\partial t}$ を計算する。

$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left[ (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \right]$

$= (\frac{1}{4\pi})^{\frac{m}{2}} \frac{\partial}{\partial t} \left[ t^{-\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \right]$

$= (\frac{1}{4\pi})^{\frac{m}{2}} \left[ -\frac{m}{2} t^{-\frac{m}{2} - 1} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} + t^{-\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \frac{|x|^2}{4t^2} \right]$

$= (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \left[ -\frac{m}{2t} + \frac{|x|^2}{4t^2} \right]$

次に、$\frac{\partial u}{\partial x_k}$ を計算する。

$\frac{\partial u}{\partial x_k} = (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} (-\frac{2x_k}{4t}) = (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} (-\frac{x_k}{2t})$

次に、$\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算する。

$\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = \frac{\partial}{\partial x_k} \left[ (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} (-\frac{x_k}{2t}) \right]$

$= (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} (-\frac{1}{2t}) \frac{\partial}{\partial x_k} \left[ x_k e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \right]$

$= (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} (-\frac{1}{2t}) \left[ e^{-\frac{|x|^2}{4t}} + x_k e^{-\frac{|x|^2}{4t}} (-\frac{2x_k}{4t}) \right]$

$= (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} (-\frac{1}{2t}) \left[ e^{-\frac{|x|^2}{4t}} - \frac{x_k^2}{2t} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \right]$

$= (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} (-\frac{1}{2t}) \left[ 1 - \frac{x_k^2}{2t} \right]$

$\sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算する。

$\sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} (-\frac{1}{2t}) \sum_{k=1}^m \left[ 1 - \frac{x_k^2}{2t} \right]$

$= (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} (-\frac{1}{2t}) \left[ m - \frac{|x|^2}{2t} \right]$

$= (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \left[ -\frac{m}{2t} + \frac{|x|^2}{4t^2} \right]$

$\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算する。

$\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^m \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \left[ -\frac{m}{2t} + \frac{|x|^2}{4t^2} \right] - (\frac{1}{4\pi t})^{\frac{m}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} \left[ -\frac{m}{2t} + \frac{|x|^2}{4t^2} \right] = 0$

3. 最終的な答え

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