与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$y = (1 - \frac{2}{x})^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left( (1 - \frac{2}{x})^x \right) = x \ln (1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = - \frac{2}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。また、$x = -\frac{2}{t}$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{t \to 0} -\frac{2}{t} \ln(1+t) = -2 \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}$ は、$\ln(1+t)$ の $t=0$ における微分係数の定義そのものです。

$\frac{d}{dt} \ln(1+t) = \frac{1}{1+t}$ より、

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = \frac{1}{1+0} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -2 \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = -2 \cdot 1 = -2$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -2$ なので、$\lim_{x \to \infty} y = e^{-2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x = e^{-2}$