極限 $\lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を $L$ とおきます。

$L = \lim_{x \to 0} (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$

両辺の自然対数をとります。

$\ln L = \lim_{x \to 0} \ln (1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 - 3x)$

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - 3x)}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \ln (1 - 3x) = \ln (1) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} x = 0$ であるため、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理より、

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \ln (1 - 3x)}{\frac{d}{dx} x}$

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3}{1 - 3x}}{1}$

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-3}{1 - 3x}$

$x \to 0$ のとき、 $1 - 3x \to 1$ なので、

$\ln L = \frac{-3}{1} = -3$

したがって、$\ln L = -3$ となります。

両辺の指数関数をとると、

$L = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$