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$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

解析学極限関数の極限ロピタルの定理微分
2025/7/14

1. 問題の内容

lim⁡x→0log⁡e(1+sin⁡x)sin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x} を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、t=sin⁡xt = \sin x とおくと、x→0x \to 0 のとき t→0t \to 0 となります。
したがって、与えられた極限は
lim⁡t→0log⁡e(1+t)t \lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t}
と書き換えられます。
ここで、lim⁡t→0log⁡e(1+t)t=1\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t} = 1 という極限の公式を利用します。この公式は、log⁡e(1+t)\log_e(1+t) の t=0t=0 における微分係数として理解できます。
したがって、
lim⁡t→0log⁡e(1+t)t=1 \lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1 + t)}{t} = 1
となります。

3. 最終的な答え

1

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