$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、与式は

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\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x}

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と書き換えられます。ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用するために、分子分母に $x$ をかけます。

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\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} \cos x}{\frac{\sin x}{x}}

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さらに、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ を計算するために、分子に $3$ をかけ、分母にも $3$ をかけます。

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\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} \cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cos x}{\frac{\sin x}{x}}

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ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ であることを利用すると、

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\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cos x}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{1} = 3

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となります。

3. 最終的な答え

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