$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$(e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - e^{-x})^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{x^2}$

ここで、$e^x$ のマクローリン展開を利用します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

したがって、

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \dots$

$e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} + \frac{(-2x)^3}{3!} + \dots = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3} x^3 + \dots$

これらを代入すると、

$e^{2x} - 2 + e^{-2x} = (1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \dots) - 2 + (1 - 2x + 2x^2 - \frac{4}{3} x^3 + \dots) = 4x^2 + O(x^4)$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4x^2 + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} (4 + O(x^2)) = 4$

別の解法として、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} - 2e^{-2x}}{2x}$ も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再びロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4e^{-2x}}{2} = \frac{4(1) + 4(1)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

3. 最終的な答え

4