関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表すガウス記号です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表すガウス記号です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

* $f(0)$ が定義されている

* $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する

* $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = [0^3] = [0] = 0$

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を調べます。

$\lim_{x \to 0} [x^3]$ を調べるために、右側極限と左側極限をそれぞれ計算します。

右側極限: $\lim_{x \to 0^+} [x^3]$

$x$ が $0$ より大きい値から $0$ に近づくとき、$x^3$ も $0$ より大きい値から $0$ に近づきます。したがって、$x^3$ は正の微小な値を取ります。

例えば、$x=0.1$ のとき、$x^3=0.001$ となります。

よって、$[x^3] = 0$ となり、$\lim_{x \to 0^+} [x^3] = 0$ となります。

左側極限: $\lim_{x \to 0^-} [x^3]$

$x$ が $0$ より小さい値から $0$ に近づくとき、$x^3$ も $0$ より小さい値から $0$ に近づきます。したがって、$x^3$ は負の微小な値を取ります。

例えば、$x=-0.1$ のとき、$x^3=-0.001$ となります。

よって、$[x^3] = -1$ となり、$\lim_{x \to 0^-} [x^3] = -1$ となります。

$\lim_{x \to 0^+} [x^3] = 0$ かつ $\lim_{x \to 0^-} [x^3] = -1$ なので、$\lim_{x \to 0} [x^3]$ は存在しません。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} [x^3]$ が存在しないため、関数 $f(x) = [x^3]$ は $x=0$ で連続ではありません。