$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{1-x}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{1-x}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

$x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ となる。

したがって、

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{1-x} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi (1+h))}{1-(1+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi + \pi h)}{-h}$$

三角関数の性質 $\sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta)$ より、

$$= \lim_{h \to 0} \frac{-\sin(\pi h)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi h)}{h}$$

$\pi h = t$ とおくと、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ となる。

$$= \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t/\pi} = \lim_{t \to 0} \pi \frac{\sin(t)}{t} = \pi \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t}$$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1$ なので、

$$= \pi \times 1 = \pi$$

3. 最終的な答え

$\pi$