2点 $P, Q \in \mathbb{R}^2$ および $r_1 > 0, r_2 > 0$ に対して、もし $|P - Q| > r_1 + r_2$ ならば、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となることを示せ。ここで、$U_r(P)$ は点 $P$ を中心とする半径 $r$ の開円盤を表す。

1. 問題の内容

2点 $P, Q \in \mathbb{R}^2$ および $r_1 > 0, r_2 > 0$ に対して、もし $|P - Q| > r_1 + r_2$ ならば、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となることを示せ。ここで、$U_r(P)$ は点 $P$ を中心とする半径 $r$ の開円盤を表す。

2. 解き方の手順

$U_{r_1}(P)$ は点 $P$ を中心とする半径 $r_1$ の開円盤を表し、$U_{r_2}(Q)$ は点 $Q$ を中心とする半径 $r_2$ の開円盤を表す。

$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ を示すためには、$U_{r_1}(P)$ と $U_{r_2}(Q)$ に共通の点が存在しないことを示せばよい。

背理法を用いて示す。

$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) \neq \emptyset$ と仮定する。このとき、ある点 $X \in \mathbb{R}^2$ が存在して、$X \in U_{r_1}(P)$ かつ $X \in U_{r_2}(Q)$ が成り立つ。

$X \in U_{r_1}(P)$ であることから、 $|X - P| < r_1$ が成り立つ。

$X \in U_{r_2}(Q)$ であることから、 $|X - Q| < r_2$ が成り立つ。

ここで三角不等式を用いると、

$|P - Q| = |P - X + X - Q| \leq |P - X| + |X - Q| = |X - P| + |X - Q|$

したがって、

$|P - Q| < r_1 + r_2$

これは仮定の $|P - Q| > r_1 + r_2$ に矛盾する。

したがって、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ である。

3. 最終的な答え

$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$