$\theta$ の関数 $y = \sin{2\theta} + \sin{\theta} + \cos{\theta}$ について、次の問いに答える問題です。 (1) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ とおいて、$y$ を $t$ の関数で表す。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。 (3) $y$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ の関数 $y = \sin{2\theta} + \sin{\theta} + \cos{\theta}$ について、次の問いに答える問題です。

(1) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ とおいて、$y$ を $t$ の関数で表す。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

(3) $y$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ を用いて $y$ を $t$ の関数で表す。

まず、$t^2$ を計算します。

$t^2 = (\sin{\theta} + \cos{\theta})^2 = \sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} = 1 + \sin{2\theta}$

したがって、$\sin{2\theta} = t^2 - 1$

$y = \sin{2\theta} + \sin{\theta} + \cos{\theta}$ に $\sin{2\theta} = t^2 - 1$ と $t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ を代入します。

$y = t^2 - 1 + t$

$y = t^2 + t - 1$

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

$t = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$t = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{\theta} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{\theta}) = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}}\sin{\theta} + \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{\theta}) = \sqrt{2}\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$

$\theta$ は任意の実数なので、$\theta + \frac{\pi}{4}$ も任意の実数。したがって、

$-1 \leq \sin{(\theta + \frac{\pi}{4})} \leq 1$

$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})} \leq \sqrt{2}$

$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) $y$ のとりうる値の範囲を求める。

(1)より、$y = t^2 + t - 1$ である。

(2)より、$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

$y = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、 $y = -\frac{5}{4}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、 $y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$

$t = -\sqrt{2}$ のとき、 $y = (-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2} - 1 = 1 - \sqrt{2}$

$-\sqrt{2} \leq -\frac{1}{2} \leq \sqrt{2}$ なので、 $y$ の最小値は $-\frac{5}{4}$ である。

$1 + \sqrt{2} > 1 - \sqrt{2}$ なので、$y$ の最大値は $1 + \sqrt{2}$ である。

したがって、$y$ のとりうる値の範囲は $-\frac{5}{4} \leq y \leq 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t - 1$

(2) $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) $-\frac{5}{4} \leq y \leq 1 + \sqrt{2}$