不定積分 $\int (x^4 - x^2 + 1) dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x^4 - x^2 + 1) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行います。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$, $C$は積分定数) であることを利用します。

まず、それぞれの項を積分します。

$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_1 = \frac{x^5}{5} + C_1$

$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = \frac{x^3}{3} + C_2$

$\int 1 dx = x + C_3$

したがって、

$\int (x^4 - x^2 + 1) dx = \int x^4 dx - \int x^2 dx + \int 1 dx$

$= \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x + C$ (ここで $C = C_1 - C_2 + C_3$ は積分定数)

3. 最終的な答え

$\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} + x + C$