与えられた陰関数に対して、その微分を求める問題です。具体的には、$e^{x+y} - x^2y^2 = 0$ の陰関数 $y(x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた陰関数に対して、その微分を求める問題です。具体的には、$e^{x+y} - x^2y^2 = 0$ の陰関数 $y(x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

陰関数の微分を行うために、与えられた方程式の両辺を$x$に関して微分します。

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\frac{d}{dx}(e^{x+y} - x^2y^2) = \frac{d}{dx}(0)

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左辺の各項を微分します。

$e^{x+y}$ の微分は、合成関数の微分より、

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\frac{d}{dx} e^{x+y} = e^{x+y} \cdot \frac{d}{dx}(x+y) = e^{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})

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$x^2y^2$ の微分は、積の微分法と合成関数の微分より、

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\frac{d}{dx}(x^2y^2) = 2x y^2 + x^2 \cdot 2y \frac{dy}{dx} = 2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx}

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したがって、元の微分は次のようになります。

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e^{x+y} (1 + \frac{dy}{dx}) - (2xy^2 + 2x^2y \frac{dy}{dx}) = 0

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$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

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e^{x+y} + e^{x+y}\frac{dy}{dx} - 2xy^2 - 2x^2y \frac{dy}{dx} = 0

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(e^{x+y} - 2x^2y)\frac{dy}{dx} = 2xy^2 - e^{x+y}

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\frac{dy}{dx} = \frac{2xy^2 - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2x^2y}

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3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy^2 - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2x^2y}$$