曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。ただし、与えられた点（1, 1)は曲線上にありません。曲線上の点から引かれる接線ではなく、点（1, 1)を通る接線を求める問題と解釈します。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の点 $(1, 1)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。ただし、与えられた点（1, 1)は曲線上にありません。曲線上の点から引かれる接線ではなく、点（1, 1)を通る接線を求める問題と解釈します。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 + 5x$ 上の任意の点 $(t, t^3 + 5t)$ における接線を考えます。

1. 導関数を求めます。$y' = 3x^2 + 5$

2. 点 $(t, t^3 + 5t)$ における接線の傾きは $3t^2 + 5$ となります。

3. 点 $(t, t^3 + 5t)$ における接線の方程式は、次のようになります。

$y - (t^3 + 5t) = (3t^2 + 5)(x - t)$

4. この接線が点 $(1, 1)$ を通るという条件から $x = 1$、$y = 1$ を代入します。

$1 - (t^3 + 5t) = (3t^2 + 5)(1 - t)$

5. この式を整理して $t$ について解きます。

$1 - t^3 - 5t = 3t^2 + 5 - 3t^3 - 5t$

$2t^3 - 3t^2 - 4 = 0$

6. $t = 2$ がこの方程式の解の一つであることを見つけます。 $(t - 2)$ で割ると、

$(t - 2)(2t^2 + t + 2) = 0$

7. $2t^2 + t + 2 = 0$ は実数解を持ちません。なぜなら、判別式 $D = 1 - 4 * 2 * 2 = -15 < 0$だからです。

8. よって $t = 2$ が唯一の実数解です。

9. 接点の座標は $(2, 2^3 + 5 * 2) = (2, 8 + 10) = (2, 18)$ です。

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0. 接線の傾きは $3 * 2^2 + 5 = 3 * 4 + 5 = 12 + 5 = 17$ です。

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1. よって接線の方程式は $y - 18 = 17(x - 2)$ となります。

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2. これを整理すると $y = 17x - 34 + 18 = 17x - 16$ となります。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 17x - 16$ であり、接点の座標は $(2, 18)$ です。