次の2つの方程式で表される陰関数の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める。 (1) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (2) $e^{x+y} - x^2y^2 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの方程式で表される陰関数の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

(1) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

(2) $e^{x+y} - x^2y^2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\right) = \frac{d}{dx} (1)$

$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{2y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}$

(2) $e^{x+y} - x^2y^2 = 0$ の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} (e^{x+y} - x^2y^2) = \frac{d}{dx} (0)$

$e^{x+y} \frac{d}{dx}(x+y) - \left(2xy^2 + x^2(2y\frac{dy}{dx})\right) = 0$

$e^{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) - 2xy^2 - 2x^2y \frac{dy}{dx} = 0$

$e^{x+y} + e^{x+y} \frac{dy}{dx} - 2xy^2 - 2x^2y \frac{dy}{dx} = 0$

$e^{x+y} \frac{dy}{dx} - 2x^2y \frac{dy}{dx} = 2xy^2 - e^{x+y}$

$\frac{dy}{dx} (e^{x+y} - 2x^2y) = 2xy^2 - e^{x+y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy^2 - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2x^2y}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy^2 - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2x^2y}$