(1) 連続関数の最大値・最小値の定理を述べる。 (2) 有界開区間上の連続関数で、最大値も最小値も存在しない例を一つ挙げる。

1. 問題の内容

(1) 連続関数の最大値・最小値の定理を述べる。

(2) 有界開区間上の連続関数で、最大値も最小値も存在しない例を一つ挙げる。

2. 解き方の手順

(1) 連続関数の最大値・最小値の定理:

閉区間 $[a, b]$ で定義された連続関数 $f(x)$ は、その区間で必ず最大値と最小値を持つ。つまり、ある $c, d \in [a, b]$ が存在して、すべての $x \in [a, b]$ に対して $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$ が成り立つ。

(2) 有界開区間上の連続関数で、最大値も最小値も存在しない例:

有界開区間 $(0, 1)$ で定義された関数 $f(x) = x$ を考える。

この関数は $(0, 1)$ で連続である。

$x$ が 0 に近づくとき、$f(x)$ は 0 に近づくが、0 にはならない。

$x$ が 1 に近づくとき、$f(x)$ は 1 に近づくが、1 にはならない。

したがって、$f(x) = x$ は $(0, 1)$ で最大値も最小値も持たない。

3. 最終的な答え

(1) 連続関数の最大値・最小値の定理:

閉区間 $[a, b]$ で定義された連続関数 $f(x)$ は、その区間で必ず最大値と最小値を持つ。

(2) 有界開区間上の連続関数で、最大値も最小値も存在しない例:

$f(x) = x$, 定義域は $(0, 1)$