$\cosh \psi = \frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2}$ と $\sinh \psi = \frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2}$ が与えられたとき、行列 $\begin{pmatrix} \cosh \psi & \sinh \psi \\ \sinh \psi & \cosh \psi \end{pmatrix}$ とベクトル $\begin{pmatrix} \cosh \psi \\ \sinh \psi \end{pmatrix}$ の積を計算する。

1. 問題の内容

$\cosh \psi = \frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2}$ と $\sinh \psi = \frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2}$ が与えられたとき、行列

$\begin{pmatrix} \cosh \psi & \sinh \psi \\ \sinh \psi & \cosh \psi \end{pmatrix}$ とベクトル

$\begin{pmatrix} \cosh \psi \\ \sinh \psi \end{pmatrix}$ の積を計算する。

2. 解き方の手順

行列とベクトルの積を計算する。

$\begin{pmatrix} \cosh \psi & \sinh \psi \\ \sinh \psi & \cosh \psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh \psi \\ \sinh \psi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh^2 \psi + \sinh^2 \psi \\ \sinh \psi \cosh \psi + \cosh \psi \sinh \psi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh^2 \psi + \sinh^2 \psi \\ 2 \sinh \psi \cosh \psi \end{pmatrix}$

ここで、

$\cosh^2 \psi = \left(\frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2\psi} + 2 + e^{-2\psi}}{4}$

$\sinh^2 \psi = \left(\frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2\psi} - 2 + e^{-2\psi}}{4}$

$\sinh \psi \cosh \psi = \frac{e^\psi - e^{-\psi}}{2} \cdot \frac{e^\psi + e^{-\psi}}{2} = \frac{e^{2\psi} - e^{-2\psi}}{4}$

であるから、

$\cosh^2 \psi + \sinh^2 \psi = \frac{e^{2\psi} + 2 + e^{-2\psi}}{4} + \frac{e^{2\psi} - 2 + e^{-2\psi}}{4} = \frac{2e^{2\psi} + 2e^{-2\psi}}{4} = \frac{e^{2\psi} + e^{-2\psi}}{2} = \cosh(2\psi)$

$2 \sinh \psi \cosh \psi = 2 \cdot \frac{e^{2\psi} - e^{-2\psi}}{4} = \frac{e^{2\psi} - e^{-2\psi}}{2} = \sinh(2\psi)$

したがって、

$\begin{pmatrix} \cosh^2 \psi + \sinh^2 \psi \\ 2 \sinh \psi \cosh \psi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh(2\psi) \\ \sinh(2\psi) \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \cosh(2\psi) \\ \sinh(2\psi) \end{pmatrix}$