領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x \}$ を極座標変換したときの、$r\theta$ 平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x \}$ を極座標変換したときの、$r\theta$ 平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を極座標で表します。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、

$x^2 + y^2 = r^2$ となります。

$x^2 + y^2 \le 1$ より、$r^2 \le 1$ となり、$0 \le r \le 1$ が得られます。

$y \ge x$ より、$r\sin\theta \ge r\cos\theta$ となります。$r>0$なので、$\sin\theta \ge \cos\theta$ となり、$\tan\theta \ge 1$ となります。よって、$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ の範囲になります。

$y \le -x$ より、$r\sin\theta \le -r\cos\theta$ となります。$r>0$なので、$\sin\theta \le -\cos\theta$ となり、$\tan\theta \le -1$ となります。よって、$\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$ の範囲になります。

上記の条件を組み合わせると、$\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ となります。

したがって、$D_0 = \{(r, \theta) | 0 \le r \le 1, \frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}\}$ となります。

3. 最終的な答え

$D_0 = \{(r, \theta) | 0 \le r \le 1, \frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}\}$