関数 $z = ax^2 - bxy + cy^2$ の2階の偏導関数、つまり $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ を求めます。

承知いたしました。問題文に記載されている関数について、2階の偏導関数を求めます。具体的にどの関数の問題について解きますか？今回は、(1) $ax^2 - bxy + cy^2$ の2階の偏導関数を求めることにします。

1. 問題の内容

関数 $z = ax^2 - bxy + cy^2$ の2階の偏導関数、つまり $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ に関する1階偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (ax^2 - bxy + cy^2) = 2ax - by$

次に、$y$ に関する1階偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (ax^2 - bxy + cy^2) = -bx + 2cy$

次に、2階偏導関数を求めます。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2ax - by) = 2a$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (-bx + 2cy) = 2c$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-bx + 2cy) = -b$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (2ax - by) = -b$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2c$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -b$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -b$