$\theta$ の範囲が $0 \leq \theta < 2\pi$ であるとき、以下の(1)方程式と(2)不等式を解く問題です。 (1) $\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \leq \theta < 2\pi$ であるとき、以下の(1)方程式と(2)不等式を解く問題です。

(1) $\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(2\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

まず、$t = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ と置きます。

$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ を求めます。

$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ は、 $t = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ または $t = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$ （$n$は整数）です。

したがって、

$2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ または $2\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$

それぞれについて $\theta$ を解きます。

$2\theta = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \pi + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$

$2\theta = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $n$ の値を調整します。

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\cos(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$u = \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3}$ と置きます。

$\cos u \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $u$ を求めます。

$\cos u = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは $u = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ です。

$\cos u \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる範囲は、$-\frac{\pi}{4} + 2n\pi \leq u \leq \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ ではなく、$\frac{\pi}{4} + 2n\pi \leq u \leq 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2n\pi$です。

つまり、$\frac{\pi}{4} + 2n\pi \leq u \leq \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ です。

$\frac{\pi}{4} + 2n\pi \leq \frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3} \leq \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\frac{7\pi}{12} + 2n\pi \leq \frac{\theta}{2} \leq \frac{25\pi}{12} + 2n\pi$

$\frac{7\pi}{6} + 4n\pi \leq \theta \leq \frac{25\pi}{6} + 4n\pi$

$0 \leq \theta < 2\pi$ なので、$n=0$ を代入します。

$\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{25\pi}{6}$

$\theta < 2\pi = \frac{12\pi}{6}$ なので、$\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{12\pi}{6}$

$\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3} \geq -\frac{\pi}{4}$　と $\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{4}$

$\frac{\theta}{2} \geq \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$ と $\frac{\theta}{2} \leq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$

$\theta \geq \frac{\pi}{6}$ と $\theta \leq \frac{7\pi}{6}$

$0 \leq \theta \leq \frac{7\pi}{6}$　と　$\frac{17\pi}{6} \leq \theta < 2\pi$

$\frac{17\pi}{6}$ は範囲外なので $\frac{7\pi}{6} \geq \theta$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{6}$