三角関数の問題です。7つの小問があり、それぞれ以下の通りです。 (1) $200^\circ$ を弧度法で表す。 (2) $\cos(-\frac{\pi}{4})$ の値を求める。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求める。 (4) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。 (5) $\tan \alpha = 3$, $\tan \beta = 2$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求める。 (6) $\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos 2\theta$ の値を求める。 (7) $3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ (ただし、$r > 0$, $0 \le \alpha < 2\pi$) の形に変形する。

1. 問題の内容

三角関数の問題です。7つの小問があり、それぞれ以下の通りです。

(1) $200^\circ$ を弧度法で表す。

(2) $\cos(-\frac{\pi}{4})$ の値を求める。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ の値を求める。

(4) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

(5) $\tan \alpha = 3$, $\tan \beta = 2$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求める。

(6) $\sin \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\cos 2\theta$ の値を求める。

(7) $3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ (ただし、$r > 0$, $0 \le \alpha < 2\pi$) の形に変形する。

2. 解き方の手順

(1) 度数法から弧度法への変換は、$180^\circ = \pi$ を用いる。

$200^\circ = 200 \times \frac{\pi}{180} = \frac{10\pi}{9}$

(2) $\cos(-\frac{\pi}{4})$ を求める。$\cos$ は偶関数なので、$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求める。

$\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(4) $\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求める。

$\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(5) $\tan(\alpha - \beta)$ を求める。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{3 - 2}{1 + 3 \times 2} = \frac{1}{7}$

(6) $\cos 2\theta$ を求める。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2 \times \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

(7) $3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。

$3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta = r(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)$

$r\cos \alpha = 3$, $r\sin \alpha = 3\sqrt{3}$

$r^2 = (r\cos \alpha)^2 + (r\sin \alpha)^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$

$r = 6$

$\cos \alpha = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、$3\sin \theta + 3\sqrt{3} \cos \theta = 6\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10\pi}{9}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(4) $\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(5) $\frac{1}{7}$

(6) $\frac{7}{8}$

(7) $6\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$