2点 $P, Q \in \mathbb{R}^2$ と、正の数 $r_1 > 0, r_2 > 0$ に対して、もし $|P-Q| > r_1 + r_2$ ならば、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となることを示す問題です。ここで、$U_r(P)$ は点 $P$ を中心とする半径 $r$ の開円板（あるいは開球）を表します。

1. 問題の内容

2点 $P, Q \in \mathbb{R}^2$ と、正の数 $r_1 > 0, r_2 > 0$ に対して、もし $|P-Q| > r_1 + r_2$ ならば、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となることを示す問題です。ここで、$U_r(P)$ は点 $P$ を中心とする半径 $r$ の開円板（あるいは開球）を表します。

2. 解き方の手順

$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ を示すためには、$U_{r_1}(P)$ と $U_{r_2}(Q)$ の共通部分に点がひとつも存在しないことを示せば良いです。

背理法を使います。

$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) \neq \emptyset$ と仮定します。

すると、$x \in U_{r_1}(P)$ かつ $x \in U_{r_2}(Q)$ なる点 $x$ が存在します。

これは、$|x - P| < r_1$ かつ $|x - Q| < r_2$ を意味します。

三角不等式 $|P - Q| \leq |P - x| + |x - Q|$ を用います。

この不等式に $|x - P| < r_1$ と $|x - Q| < r_2$ を代入すると、

$|P - Q| < r_1 + r_2$ が得られます。

しかし、これは問題文の仮定 $|P-Q| > r_1 + r_2$ に矛盾します。

したがって、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ でなければなりません。

3. 最終的な答え

もし $|P-Q| > r_1 + r_2$ ならば、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となる。