領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge x\}$ を極座標変換したとき、$r\theta$ 平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge x\}$ を極座標変換したとき、$r\theta$ 平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 = r^2$ であることを利用します。

$1 \le x^2 + y^2 \le 4$ は $1 \le r^2 \le 4$ となり、$1 \le r \le 2$ に対応します。

次に、$y \ge x$ を極座標で考えます。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ なので、$r\sin\theta \ge r\cos\theta$ となります。

$r > 0$ なので、$\sin\theta \ge \cos\theta$ となります。

$\tan\theta \ge 1$ となる $\theta$ の範囲を考えます。

$\tan\theta = 1$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときです。

また、$y \ge x$ の条件から、$\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{5\pi}{4}$ までの範囲になります。

しかし、$x^2+y^2$の条件があるので、$\theta$ は$\frac{\pi}{4}$ から$\pi$ までと、$0$から$\frac{5\pi}{4}$までではなく$\pi$までとなります。

$\theta$の範囲を考えます．$y=x$は$\theta=\frac{\pi}{4}$と$\theta=\frac{5\pi}{4}$を表します．$y\ge x$となる領域は，$x>0$のとき$\frac{\pi}{4}\le \theta\le \frac{\pi}{2}$，$x<0$のとき$\frac{\pi}{2}\le \theta\le \frac{5\pi}{4}$となるので，$\frac{\pi}{4}\le \theta\le \frac{5\pi}{4}$です．

選択肢の中から、$1 \le r \le 2$ かつ $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$を満たすものを探します。

3. 最終的な答え

求める領域は $D_0 = \{(r, \theta) | 1 \le r \le 2, \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4} \}$ です。