2重積分 $\iint_D (-y) \, dx \, dy$ を計算する問題です。積分領域 $D$ は $0 \le x \le 3$ かつ $0 \le y \le 2$ で定義されています。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D (-y) \, dx \, dy$ を計算する問題です。積分領域 $D$ は $0 \le x \le 3$ かつ $0 \le y \le 2$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、逐次積分を行います。今回は $x$ で積分してから $y$ で積分することにします。

$\iint_D (-y) \, dx \, dy = \int_0^2 \int_0^3 (-y) \, dx \, dy$

まず内側の積分を計算します。

$\int_0^3 (-y) \, dx = -y \int_0^3 dx = -y [x]_0^3 = -y (3 - 0) = -3y$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^2 -3y \, dy = -3 \int_0^2 y \, dy = -3 \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_0^2 = -3 \left( \frac{1}{2}(2^2) - \frac{1}{2}(0^2) \right) = -3 \left( \frac{1}{2}(4) \right) = -3(2) = -6$

3. 最終的な答え

-6