関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフが与えられている。ただし、$a>0$、$0 < b < 2\pi$。このとき、$a$, $b$の値と、グラフ中の目盛りA, B, C, Dの値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフが与えられている。ただし、$a>0$、$0 < b < 2\pi$。このとき、$a$, $b$の値と、グラフ中の目盛りA, B, C, Dの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ を変形する。

$y = 2\cos\left(a\left(\theta - \frac{b}{a}\right)\right)$

この関数は、$y = 2\cos(a\theta)$ を $\theta$ 軸方向に $\frac{b}{a}$ だけ平行移動させたものと解釈できる。

また、$y = 2\cos(a\theta)$ のグラフは、$y = \cos\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\frac{1}{a}$ 倍に縮小し、$y$ 軸方向に2倍に拡大したものである。

グラフより、周期 $T$ は $\frac{5}{6}\pi - \frac{1}{12}\pi = \frac{10}{12}\pi - \frac{1}{12}\pi = \frac{9}{12}\pi = \frac{3}{4}\pi$ の2倍、つまり $T = \frac{3}{2}\pi$ である。

また、$\cos$ 関数の周期は $2\pi$ であるから、

$\frac{2\pi}{a} = \frac{3}{2}\pi$

$a = \frac{2\pi}{\frac{3}{2}\pi} = \frac{4}{3}$

次に、平行移動量を求める。$\theta = \frac{\pi}{12}$ のとき、$y$ は最大値2を取る。よって、$\theta = \frac{\pi}{12}$ は $y=2\cos(a\theta)$ のグラフを$\theta$軸方向に平行移動して得られた最初の最大値を与える。

つまり、$a\left(\frac{\pi}{12} - \frac{b}{a}\right) = 0$ となる。

$\frac{\pi}{12} = \frac{b}{a}$

$b = \frac{a\pi}{12} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{9}$

$a = \frac{4}{3}$

$b = \frac{\pi}{9}$

グラフより、$B = 2$, $C = -2$, $D = 0$ である。

$A$ は、$y=2\cos(a\theta-b)=2\cos(\frac{4}{3}\theta - \frac{\pi}{9})=0$となる$\theta$のうち、$\frac{5}{6}\pi$より大きい最小の値。

$\frac{4}{3}\theta - \frac{\pi}{9} = \frac{3\pi}{2}$

$\frac{4}{3}\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{9} = \frac{27\pi+2\pi}{18} = \frac{29\pi}{18}$

$\theta = \frac{29\pi}{18} \cdot \frac{3}{4} = \frac{29\pi}{24}$

よって $A = \frac{29}{24}\pi$

3. 最終的な答え

$a = \frac{4}{3}$

$b = \frac{\pi}{9}$

$A = \frac{29}{24}\pi$

$B = 2$

$C = -2$

$D = 0$